Integral Adalah Pengertian Integral dan Contoh Soal ~ SINAU

Wednesday, January 16, 2019

Integral Adalah Pengertian Integral dan Contoh Soal

January 16, 2019 – by rohmat hadi susanto 0

Pengertian Integral dan

Contoh Soal-Soal Integral

Pengertian Integral Yaitu sebuah homonim karena arti-artinya memiliki ejaan dan pelafalan yang sama tetapi maknanya berbeda. Integral memiliki arti dalam bidang ilmu matematika

A. Penjelasan Integral

Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum

dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunan

Jadi, turunan fungsi

Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi f (x) dari f '(x) yang diketahui? Menentukan fungsi f(x) dari f '(x), berarti menentukan antiturunan dari f '(x). Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial.

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F'(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut.

dengan:

Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut

Dari uraian ini, tampak bahwa jika

dapat dituliskan

Sebagai contoh, turunan fungsi

Ini berarti, antiturunan dari

Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.

Contoh SMA/SMK Kelas XII

1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut!

2. Tentukanlah antiturunan x jika diketahui:

B. Integral Tak Tentu

Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval [ a b] , sedemikian hingga

maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c. Secara matematis, ditulis

di mana

Sebagai contoh, dapat kalian tuliskan

karena

Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.

Teorema 1

Teorema 2

Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka

Teorema 3

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

Teorema 4

Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

Teorema 5

Aturan integral substitusi

Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka

di mana c adalah konstanta dan

Teorema 6

Aturan integral parsial

Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

Teorema 7

Aturan integral trigonometri

di mana c adalah konstanta

Pembuktian Teorema 1

Untuk membuktikan Teorema 1, kalian dapat mendiferensialkan

yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.

Pembuktian Teorema 3 dan 4

Untuk membuktikan Teorema 4, kalian dapat mendiferensialkan

yang terdapat pada ruas kanan seperti berikut.

Sehingga didapat:

Contoh Lagi Teman2, Semangat Jangan Pantang Menyerah,

Hitunglah integral dari

Jawab

Pembuktian Teorema 6

kalian telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi

Akan dibuktikan aturan integral parsial dengan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan seperti berikut.

B. 1. Aturan Integral Substitusi

Substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh

SMA/SMK Kelas XII

Hitunglah integral dari:

Pembuktian Teorema 7

kalian telah mempelajari turunan fungsi trigonometri, yaitu

Berikut ini akan dibuktikan aturan integral trigonometri menggunakan rumus tersebut. Caranya adalah dengan mengintegralkan kedua ruas seperti berikut.