PROGRAM LINEAR Adalah Pengertian linear dan Contoh Soal

ROGRAM LINEAR dan CONTOH SOAL 

PROGRAM LINEAR yaitu 

    suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/minimum (penyelesaian optimum).

1. Model Matematika

       Pada subbab ini, kita akan mempelajari bagaimana masalah dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan matematika. Namun, sangat dibutuhkan kemampuan berpikir logis untuk mengubah masalah sehari-hari ke bentuk matematika. 

Mari kita perhatikan masalah berikut ini.

Masalah-1.1

            Sekelompok tani transmigran mendapatkan 10 hektar tanah yang dapat ditanami padi, jagung, dan palawija lain. Karena keterbatasan sumber daya petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanami padi dan berapa bagian yang harus ditanami jagung, sedangkan palawija lainnya ternyata tidak menguntungkan. Untuk suatu masa tanam, tenaga yang tersedia hanya 1550 jam/orang, pupuk juga terbatas, tak lebih dari 460 kilogram, sedangkan air dan sumber daya lainnya cukup tersedia. Diketahui pula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 10 jam-orang tenaga dan 5 kilogram pupuk, dan untuk 1 kuintal jagung diperlukan 8 jam/orang tenaga dan 3 kilogram pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50 kuintal padi per hektar atau 20 kuintal jagung per hektar. Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp 40.000 sedang dari 1 kuintal jagung Rp 30.000, dan dianggap bahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual. Masalah bagi petani ialah bagaimanakah rencana produksi yang memaksimumkan pendapatan total? Artinya berapa hektar tanah harus ditanami padi dan berapa hektar tanah harus ditanami jagung

Perumusan Masalah

          Berdasarkan masalah di atas, diketahui bahwa setiap 1 hektar menghasilkan 50 kuintal padi. Artinya, untuk 1 kuintal padi diperlukan 0,02 hektar. Demikian juga, untuk 1 kuintal jagung diperlukan 0,05 hektar. 

Cermati angka-angka yang tersaji pada tabel berikut ini!

Catatan: 

      1. Satuan jam-orang (man-hour) adalah banyak orang kali banyak jam bekerja. Kita anggap                    (asumsi) bahwa setiap transmigran memiliki tenaga dan waktu yang relatif sama. 

      2. Air dianggap berlimpah sehingga tidak menjadi kendala/keterbatasan. Jika ada kendala air                  maka satuannya adalah banyak jam membuka saluran tersier untuk mengalirkan air ke sawah. 

      3. Batas ketersediaan dalam soal ini kebetulan semuanya berupa batas atas.

Alternatif Penyelesaian 

         Besarnya pendapatan kelompok petani dipengaruhi banyak (kuintal) padi dan jagung yang diproduksi. Tentunya, besar pendapatan tersebut merupakan tujuan kelompok tani, tetapi harus mempertimbangkan keterbatasan sumber (luas tanah, tenaga dan pupuk).

Misalkan : 

                  x banyak kuintal padi yang diproduksi oleh kelompok tani 

                  y banyak kuintal jagung yang diproduksi oleh kelompok tani.

        Untuk memperoleh pendapatan terbesar, harus dipikirkan keterbatasanketerbatasan berikut:

a. Banyak hektar tanah yang diperlukan untuk y kuintal padi dan untuk x kuintal jagung tidak boleh        melebihi 10 hektar. 

b. Untuk y ketersediaan waktu (jam-orang), tiap-tiap padi dan jagung hanya tersedia waktu tidak             lebih dari 1550 jam-orang. 

c. Jumlah pupuk yang tersedia untuk padi dan jagung tidak lebih dari 460 kilogram.

d. Dengan semua keterbatasan (kendala) (a), (b), dan (c), kelompok tani ingin mengharapkan                  pendapatan Rp40.000,00 dan Rp30.000,00 untuk setiap kuintal padi dan jagung.

• Dari uraian keterbatasan atau kendala pada bagian (a), (b), dan (c) dan tujuan pada bagian (d), bersama temanmu, coba rumuskan model matematika yang mendeskripsikan kondisi yang dihadapi kelompok tani tersebut.

      Melihat uraian di atas, masalah kelompok tani transmigran dapat diubah bentuk menjadi suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pemecahan sistem tersebut dapat dikerjakan dengan metode grafik (dibahas pada subbab berikutnya). Hal ini merupakan pengembangan konsep pertidaksamaan linear satu variabel yang telah kamu pelajari pada Kelas X. 

     Adapun sistem pertidaksamaan linear yang dimaksud adalah sebagai berikut:

     Karena luas tanah/lahan, banyak waktu, dan banyak pupuk tidak mungkin negatif, kendala ini sebagai kendala nonnegatif, yaitu: 

      Untuk pendapatan, tentu dimaksimumkan dan sebaliknya untuk biaya tentu diminimumkan. Untuk masalah ini, kelompok tani tentu hendak memaksimumkan pendapatan, melalui memperbanyak kuintal padi dan jagung yang dijual berturutturut Rp 40.000 dan Rp 30.000. Rumusan ini disebut sebagai fungi tujuan/sasaran; sebut Z(x, y)

     Secara matematik dituliskan:

Maksimumkan: Z(x, y) = 40x + 30y (dalam satuan ribuan rupiah)

       Untuk memecahkan masalah banyak kuintal padi dan jagung yang akan dihasilkan kelompok tani tersebut, akan kita kaji pada subbab garis selidik.

       Selain dua variabel, masalah program linear dalam kehidupan sehari-hari banyak juga yang memuat tiga variabel atau lebih. Seperti masalah yang ditemui seorang pengrajin perabot rumah tangga berikut ini. 

Masalah-1.2

        Pak Toni, seorang pengrajin perabot rumah tangga mendapat pesanan membuat rak buku yang kerangkanya terbuat dari besi siku lubang yang dipotong-potong kemudian dirangkai dengan sekrup. Untuk membuat rak itu, diperlukan potongan besi sepanjang 250 cm sebanyak 8 potong, sepanjang 70 cm sebanyak 12 potong, dan sepanjang 37,5 cm sebanyak 20 potong. Ternyata batangan besi siku lubang yang dijual di toko mempunyai panjang standar 3 m, sehingga Pak Toni harus berpikir, cukup berapa potong besi batangan yang akan dibeli dan bagaimana caranya mengatur pemotongannya supaya panjang total sisa pemotongan menjadi minimal (dengan demikian kerugian Pak Toni minimal). Dapatkah kamu membantu Pak Toni untuk memotong besi batangan tersebut?

Alternatif Penyelesaian 

Dari persoalan di atas, ada berapa jenis pola potongan besi batangan yang diperlukan Pak Toni? Mari perhatikan gambar berikut ini. 

• Dari dua pola di atas, tentunya kamu bisa menampilkan pola yang lain. Temukan pola pemotongan yang lain, kemudian bandingkan hasil teman-temanmu.
• Setelah lengkap, tuliskan pola-pola pemotongan besi tersebut seperti pada tabel berikut ini.

• Dengan menemukan semua pola pemotongan besi secara lengkap, jelaskan makna setiap pola pemotongan besi tersebut.   

       Dengan demikian terdapat 6 peubah yang muncul yaitu,

dengan 

         : banyak batang besi yang dipotong menurut kombinasi pola ke-i. Oleh karena itu, kita temukan rumusan berikut ini:

      Persamaan (5) dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi yang tergantung pada nilai

      merupakan fungsi sisa pemotongan dari semua pola pemotongan besi. Fungsi Z merupakan tujuan pola pemotongan besi batangan yang dibutuhkan Pak Toni. Sedangkan apa yang dinyatakan pada bagian (4) merupakan kendala atau keterbatasan untuk mencapai tujuan tersebut. 

     Cermati tanda yang digunakan pada bagian (4) di atas, merupakan salah satu karakteristik yang digunakan pada kajian materi program linear. 

                                                                                                                         Hal Berikutnya