Pengertian Eksponen dan Logaritma dan Contohnya

Eksponen dan Logaritma Adalah 

Eksponen
Eksponen adalah bilangan berpangkat.
Bentuk umum
fungsi eksponen adalah dengan a ≥ 0 dan a≠1

Logaritma
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari pangkat atau eksponen.
Rumus dasar logaritma:

a^b= c, ditulis sebagai ^alog c = b 

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya memuat variabel. Atau persamaan dimana bilangan pokok atau eksponennya memuat variabel x. Untuk menyelesaikan persamaan eksponen, harus menggunakan sifat-sifat eksponen. Intinya, soal persamaan eksponen bisa kita kerjakan apabila kita mengetahui sifat-sifat eksponen.

1. Menemukan Konsep Eksponen 

        konsep eksponen ditemukan dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut dan mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya. Tentu saja, kamu diminta untuk melakukan pemodelan matematika yang melibatkan eksponen. Dari beberapa model matematika yang diperoleh dari langkah-langkah penyelesaian masalah, kamu secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu menuliskan konsep eksponen dengan pemahamanmu sendiri.

Contoh. untuk Matematika SMA Kelas X 

          Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu, satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri pada akhir 8 jam.

Ditanya: 

a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan?

b. Berapa jumlah bakteri pada akhir 8 jam?

Jawab 

Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam. 

Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x0 . Isilah tabel berikut!

Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri (xt ) tersebut terhadap perubahan waktu (t).

atau secara ringkas ditulis

dengan t menyatakan banyak jam, x0 adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam.

       Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusikan t = 3 dan t = 5 ke formula (1) di atas, maka diperoleh

 Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi 2 bakteri setiap 1 jam Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke persamaan 

Subtitusikan 

ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan

Jadi, pada akhir 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri.

CONTOH 2

         Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.

Penyelesaian

Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara banyak garis lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.

Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak lipatan.

k dapat dinyatakan dalam n, yaitu

Coba kamu uji kebenaran persamaan 

dengan mensubtitusikan nilai n ke persamaan tersebut.

Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperoleh Dari persamaan

adalah bilangan pokok dan t adalah eksponen dari r.

Dari persamaan

 adalah bilangan pokok dan n adalah eksponen dari 2. 

Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

                                                                                                                     Hal Berikutnya